Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 1 9. Oktober 2008

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei E = ℝ^{2} die euklidische Ebene. Für einen Punkt (0, 0) ≠ P = (x, y) ∈ E sei die Inversion σ am Einheitskreis gegeben durch

σ(P) := \frac{1}{x^{2} + y^{2}} · (x, y).

Die Hyperbel H sei definiert durch

H := {(x, y) ∈ E| x^{2} − y^{2} = 1}.

a) Skizziere den Einheitskreis, H sowie σ(H).

b) Zeige für Q ∈ σ(H) die Gleichheit (bzgl. der Euklidischen Norm)

|Q − (\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)| · |Q − (−\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)| = \frac{1}{2}.

c) Bestimme ein Polynom F ∈ ℝ[X, Y] vom Grad 4, sodass σ(H) in der Menge der Nullstellen von F enthalten ist. Hinweis: Lemniskate.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und Y = {(t, t^{2}, t^{3})| t ∈ K} ⊆ 𝔸_{K}^{3}. Zeige, dass Y eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge von 𝔸_{K}^{3} ist. Gib Erzeuger für das Ideal I(Y) an und zeige, dass der Koordinatenring A(Y) = K[X_{1}, X_{2}, X_{3}]/I(Y) isomorph ist zum Polynomring in einer Variablen über K.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Man kann 𝔸_{K}^{2} für einen algebraisch abgeschlossenen Körper K mit 𝔸_{K}^{1} × 𝔸_{K}^{1} identifizieren (als Mengen). Zeige, dass die Zariski-Topologie auf 𝔸_{K}^{2} nicht die Produkttopologie der Zariski-Topologien von zwei Kopien von 𝔸_{K}^{1} ist. Hinweis: Betrachte die “Diagonale”.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Zeige:

a) Jede affine algebraische Menge in ℂ^{n} ist abgeschlossen in der Euklidischen Topologie.

b) Das abgeschlossene Quadrat {(x, y) ∈ ℂ^{2}| |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} in ℂ^{2} ist keine affine algebraische Menge.

Abgabe bis spätestens 16. Oktober 2008, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.